معادله‌های زیر را حل کنید.
الف) $2x^4 - 7x^2 - 4 = 0$
ب) $x^4 + 3x^2 + 2 = 0$
این معادلات، معادلات **مرتبه چهارم از نوع دو جمله‌ای** (یا دو مربعی) هستند که با تغییر متغیر $u = x^2$ قابل تبدیل به معادلهٔ درجه دوم هستند.
## الف) حل معادله $2x^4 - 7x^2 - 4 = 0$
**۱. تغییر متغیر**
قرار می‌دهیم $u = x^2$. با این فرض، $u \ge 0$ و معادله به صورت زیر در می‌آید:
$$2u^2 - 7u - 4 = 0$$
**۲. حل معادلهٔ درجه دوم (با استفاده از روش دلتا یا تجزیه)**
از روش دلتا استفاده می‌کنیم ($a=2, b=-7, c=-4$):
$$\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(2)(-4) = 49 + 32 = 81$$
$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{81} = 9$$
ریشه‌های $u$ عبارتند از:
$$u = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-7) \pm 9}{2(2)} = \frac{7 \pm 9}{4}$$
$$u_1 = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$$
$$u_2 = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$
**۳. بازگشت به متغیر اصلی ($x$)**
از آنجایی که $u = x^2$ و $x^2$ نمی‌تواند منفی باشد، ریشهٔ $u_2 = -\frac{1}{2}$ غیرقابل قبول است ($x^2 = -\frac{1}{2}$، ریشه حقیقی ندارد).
* برای $u_1 = 4$:
$$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm \sqrt{4} \Rightarrow x = \pm 2$$
**ریشه‌های حقیقی معادله الف**:
$$x \in \{-2, 2\}$$
---
## ب) حل معادله $x^4 + 3x^2 + 2 = 0$
**۱. تغییر متغیر**
قرار می‌دهیم $u = x^2$. معادله به صورت زیر در می‌آید:
$$u^2 + 3u + 2 = 0$$
**۲. حل معادلهٔ درجه دوم (با استفاده از تجزیه)**
این معادله را می‌توان به راحتی تجزیه کرد:
$$(u + 1)(u + 2) = 0$$
ریشه‌های $u$ عبارتند از:
$$u + 1 = 0 \Rightarrow u_1 = -1$$
$$u + 2 = 0 \Rightarrow u_2 = -2$$
**۳. بازگشت به متغیر اصلی ($x$)**
از آنجایی که $u = x^2$ و $x^2$ باید نامنفی باشد، هر دو ریشهٔ به دست آمده برای $u$ غیرقابل قبول هستند، زیرا هر دو منفی‌اند:
* برای $u_1 = -1$:
$$x^2 = -1 \quad (\text{ریشهٔ حقیقی ندارد})$$
* برای $u_2 = -2$:
$$x^2 = -2 \quad (\text{ریشهٔ حقیقی ندارد})$$
**ریشه‌های حقیقی معادله ب**:
این معادله **ریشهٔ حقیقی** ندارد. (مجموعه جواب حقیقی $\emptyset$ است.)
